Назарій Яремчук народився в селянській родині Назарія та Марії Яремчуків. Мав братів Степана, Богдана та сестру Катерину. Свою четверту дитину батьки назвали Назарієм (це ім’я означає «присвячений Богові»). Він народився коли батьку вже було 64-роки. Сама родина була музичною: у батька був тенор, він співав у церковному хорі; мати, крім співів, грала на мандоліні і виступала в місцевому народному театрі. Ще маленьким хлопчиком Назарій також почав співати.
В дванадцять років Назарій пережив перший тяжкий удар — помер батько. Мати мусила віддати сина до Вижницької школи-інтернату. До навчання ставився добросовісно, займався у гуртках, надаючи перевагу хоровому. Після закінчення восьми класів у школі-інтернаті Назарій продовжив навчання у Вижницькій середній школі № 1, яку закінчив у 1969 році.
Після закінчення школи Назарій подав документи в Чернівецький університет на географічний факультет, але не пройшов по конкурсу. Довелося йти працювати сейсмологом у Західноукраїнській геологорозвідувальній партії. За направленням військкомату навчався на курсах водіїв. Тільки з другої спроби у 1970 році, вже будучи солістом «Смерічки» Л. Дутковського, Назарію вдалося вступити до університету.
Після занять залишався послухати репетиції ВІА «Смерічка» Вижницького будинку культури, яким керував Левко Дутковський. Керівник ансамблю помітив постійного відвідувача та запропонував заспівати пісню на вибір. Це була пісня Ігоря Поклада «Кохана». Голос молодого співака керівникові сподобався, і з осені 1969 року Назарій почав співати у «Смерічці».
Перше мистецьке визнання принесли пісні «Червона рута» та «Водограй» Володимира Івасюка. За виконання цих творів ансамбль «Смерічка» та його солісти Назарій Яремчук і Василь Зінкевич були удостоєні звання лауреатів Всесоюзного конкурсу «Алло, ми шукаємо таланти», а також «Пісня року-71/72», на яких вони підтвердили високу артистичну майстерність.
У 1973 році ансамбль «Смерічку» під керівництвом Л. Дутковського запрошують на професійну сцену в Чернівці. З цього часу Назарій, сповна віддався естрадній пісні.
Потрібно відзначити, що тривалий час на естраді в Яремчука було амплуа ліричного героя, але він говорив, що любить виконувати пісні, у яких сполучається лірика й громадянське звучання. У 80-х Назарій Яремчук був романтичним співаком, заспівавши пісню «Запроси мене у сни свої». Перший диск-гігант Назарія «Незрівнянний світ краси», названий за піснею Л. Дутковського (1980) — одна з найкращих платівок в українській дискографії того періоду.
1987 року Назарію присвоєно звання Народного артиста України.
2 березня 1993 року у Яремчуків народилася дівчинка, яку назвали на честь матері Назарія — Марічкою. Старші діти відразу полюбили дитину і гралися з нею. А Назарій на гастролі брав з собою маленьку подушечку доньки, що вважав своїм талісманом. А тоді раптом Назарій дізнався, що хворий на рак…
30 червня 1995 року після довготривалої хвороби Назарій Яремчук помер у Чернівцях. Співака поховали на центральному кладовищі Чернівців.
У березні 1996 року Указом Президента України Назарію Яремчуку посмертно присуджено Державну премію ім. Шевченка.